凯利公式的背景与应用
凯利公式是1956年由约翰·凯利（John Kelly）在美国著名的贝尔实验室提出的，属于概率学关于预测方面的一个分支，原数学模型较为复杂，因其在对事件的预期和规避风险等理论上的先进性，凯利准则被迅速地应用在博彩方面，比如扑克游戏二十一点和欧洲盛行的赛马、赛狗等运动。
在足球博彩方面的应用主要以欧洲赔率为基础，可以在给定赔率的情况下计算出最佳的投注额，从而使本金稳定、安全并快速地呈几何级数增长。在一定的赔率之下，如果赌局拥有正期望值，那么凯利公式可以使长期增长率达到最大化。可用凯利公式计算出每次游戏中所应投注的资金比例。除了可以将长期增长率最大化以外，该公式不允许在任何赌局中出现损失全部现有资金的可能，因此理论上不用担心亏光出局。该公式假设货币与赌局可无穷分割，只要资金足够多，在实际应用上不成问题。
凯利公式的最一般性陈述为，为了使盈利达到最大化，投入现有资金的比例为F时，即可实现长期增长率的最大化。对于只有两种结果（输掉所有投注资金，或者获得投注资金乘以特定赔率的彩金）的简单赌局而言，可由一般性陈述导出下面的凯利公式。
凯利公式（Kelly formula）
形式一：
其中，F为现有资金应进行下次投注的比例；b为投注可得的赔率；p为胜率；q为败率，即1-p。
举例来说，假设一种博彩游戏有40%的胜率（p=0.4，q=0.6），而玩家在赢得赌局时，可获得2：1的赔率（b=2），则玩家应在每次机会中应下注现有资金的10%（F=0.1），以使资金的长期增长率最大化。
形式二：
其中，P为胜率；R为赔率，即盈亏比。
我们假设一个交易系统的胜率为65%，赔率为1.3，计算投入资金的最佳比例，以使盈利达到最大化。
可以得出，每次投入现有资金的38%时是最佳比例。这个公式的意义在于，当你连续亏损的时候，你投入的资金迅速缩减，当你连续盈利时，你投入的资金迅速提高，当你处于亏损与盈利交替时，你的投入金额保持平衡，且剩余资金也保持平衡。
这个公式还告诉我们，只有正期望（bp-q>0）时才有参与价值，而现实中的赌局由于抽水、返奖率等原因基本上都是负期望系统，而在股市交易中通过调整买入和卖出策略，进而影响盈亏比和胜率，可以更好地运用凯利公式。
我们在股市中使用的多数是正期望交易系统，交易失败的时候，往往不会亏掉全部本金。所以在股市交易中，有著名的巴菲特简化公式：
从这个简化公式上来看，只有当胜率大于50%的时候才能参与，且资金增加的速度为胜率增加速度的2倍，但这仅是个简单公式，实际进行仓位控制时的情况要复杂得多。通过前面的数学期望公式我们知道，只要数学期望大于0就有参与的价值，这个简化公式可以看作一个特例，有助于理解和考量一般的胜率和盈亏比的关系。这个简化公式杜绝了低概率事件，即使是赔率很高也不考虑。凯利公式的应用，不会使你增加胜率，但能更合理地进行仓位控制，使盈利达到最大化，并将亏损控制在合理范围内。
凯利公式的神奇之处
我们在交易中使用的交易系统通常已经优化成了正期望的系统，在有胜算的情况下，该如何下注才能做到风险最小并且盈利最大呢？答案就是利用凯利公式。为了便于说明，假设我们有一个短线交易系统，其胜率为80%，平均盈利为20%。亏损概率为20%，平均亏损为10%，盈亏比为2：1。那么下注比例应该占到当前账户资金的多少呢？我们按照凯利公式来进行计算：
因此，合理的下注比例应该为本金的70%，也就是说，如果有10万元，应该下注7万元。
在这个假设的系统中，有80%的胜率，简单来讲，就是平均5次交易中有1次亏损，有4次盈利。
假设最初投入100万元，5次交易后的盈利情况。凯利公式的神奇之处就在于，以这个下注比例，在任何一次交易亏损的情况下，都不会整体亏损，而且经过5次交易之后，结果都是157.1万元。其他任何下注比例，最终的结果都要比157.1万元少。只有70%的仓位控制比例是最优的。从长期来看，孤注一掷下重注和低比例下注的方法都是错误的。
股票交易的下注与博彩游戏的下注没有什么区别，其本质都是在一定的胜率和赔率下寻求使收益达到最大化。交易者在策略上要注意以下两点：
- 判断当前交易品种的盈利概率。
- 按概率来下注。对自己有利的时候合理增加筹码。
凯利公式的本质就是，在概率对交易者有利的时候下重注，对交易者不利的时候下小注或不参与。在交易市场中，我们没有必要每天都在场内交易，当市场趋势对你不利时，或者趋势不明显时，完全可以在场外休息。
在数学领域的一些科学家都在股票市场中有着不错的表现。信息论的发明者克劳德·香农是一位数学天才，而且他与我们讲到的凯利公式的发明者约翰·凯利曾在贝尔实验室共事。香农在30多年的股市投资生涯中，年复合收益率达到了29%，这与同期巴菲特的业绩不相上下。另一位天才数学家爱德华·索普在香农和凯利的基础上，利用自己的概率统计知识做交易，并且创办了对冲基金，成了量化基金的先驱。索普利用大数定律来推测股票涨跌的概率，在其28年的投资中年化回报率达到了20%。
交易和博彩游戏的区别就在于如何判断盈利的概率。要想判断交易的盈利概率可以根据交易系统对所操作品种的历史绩效来得出平均胜率和盈亏比，并以此为依据来调整买入仓位的合理比例水平。如果是博彩游戏，通过计算剩下的牌，可以得到玩家在概率上是否有利。
我们最后举一个股票交易的例子：假设按一定方法操作一只股票的历史平均胜率为60%，平均盈利比例为60%，平均亏损比例为20%，那么合理的期望回报率应该为：
那么合理的仓位应该是多少呢？根据凯利公式计算：
应该用40%的资金买入该股票，如果你能找2～3只这样的股票或ETF基金，那么基本上就可以做一个投资组合了。整个组合的期望回报率为28%左右。这是一个很理想的投资组合。风险可控，盈利最优。
使用凯利公式的注意事项
- 凯利公式是一种连续博弈，而不是一个并行的仓位控制方式，如果有两个交易品种根据凯利公式计算的仓位均为50%，不要认为可以满仓下注（50%+50%=100%），这样有一定概率会全军覆没。
- 在股票交易中的赌注不是无限可分的，对于高价股要注意。
- 在股票交易中每次下注是有手续费的。
- 在股票交易中盈亏概率和盈亏比例只能大致判断，这两个数据无法像游戏一样通过数学精确计算，只能通过历史数据得出，而历史未必代表未来，要注意市场结构的变化，过于古老的数据没有意义。
